２番のバスが午前０時20分まで運行しています

下記のURL全体をコピペして開いてください。
時刻表とルート図が表示されます。

http://soiduplaan.tallinn.ee/#bus/2/a-b/13413-3/map/en

Lennujaamが空港、A.Laikmaaがバスターミナル（旧市街の東）です。

なお、到着便を指定すれば送迎サービスを行ってくれる会社もあります。
私は利用していませんが、参考までにURLを貼り付けておきます。

http://www.airporttransfer.ee/eng/

タリン空港は市街地に近いので、
この送迎サービスまたはタクシーでも、料金はそれほど高くないと思います。