アクサライ

figgさん、どうも。

乗り継ぎのない、と仰ってますが何の交通手段を使用しての
乗り継ぎ、でしょうか?
空港からのシャトルバスを利用してスルタンアフメットの
安宿に宿泊する場合の話でしたら確かにアクサライで下車する
必要がありますが、そのまま行けば終着点はタキシムです。

アクサライというエリアで安心できる場所、ということですが
個人的にあのエリアは女性で安心できる場所とはいえません。
もともと売春婦などの多いエリア(というか売春婦を買って宿泊
する場所)として有名です。
3000円という金額が可能なのでしたら空港からタクシーで
スルタンアフメットまで移動して安いドミトリーに宿泊することを
お勧めしますが。
もしくは空港近辺のホテルを利用なさってはいかがでしょうか?
ホテル検索サイトを紹介します、参考までに。
http://en.venere.com/hotels_istanbul/