台湾半日観光（子連れ）で訪れて楽しい場所を教えて頂けないでしょうか。

新幹線

空港から少し行ったところに桃園高鉄駅がありますので、そこから台北市内まで新幹線に乗るのはどうでしょう？　もっと電車が好きな子供でしたら、在来線の桃園駅まで行くと、いろいろ見たことのない列車が来るので楽しめると思いますよ。

中正紀念堂とかでしょうか・・・

こんにちは。
確かにあまり観光の時間がとれなさそうな乗り継ぎですね。
台北にMRTを使って出たとしても、自由に動けるのは17時くらいでしょうか。
で、アクセス良好なドベタな観光地で、10歳の男の子でも楽しめる(？)としたら、中正紀念堂くらいかなぁという気がします。
ホテルを空港近くに取っていらっしゃるとしたら、空港からMRT機場線台北駅まで出た場合、市内のMRTの駅は台北駅より北門駅の方が近いです。
緑ライン（松山新店線）に乗り換えて3駅ほど南に下れば中正記念堂に着きます。一応、17時まで毎正時に小規模な衛兵交代式をやってるのですが、イギリス在住だとさして面白くないかもしれませんね。
食事は、それこそ、小籠包でも牛肉麺でも夜市の食べ歩きでも選び放題です。
有名なかき氷店とかもたくさんありますので、デザートも選び放題ですね。
たまに八角がダメという方がいらっしゃるので（私が知る限り、ほぼ男性・男児です）、その場合はほとんどの台湾料理がアウトなので、小籠包を食べに行かれたら良いかと思います。

台北駅周辺なら

桃園国際空港は、イミグレが混雑します。5月下旬に台湾に行きましたが、入境手続きで３０分待ちました。（またなくていい方法もあるようです）
また、空港からMRT空港駅までの移動時間も１５分は見ていた方がいいです。
空港駅〜台北駅は、快速が１５分おきに出ていて、移動時間は３５分です。
間違って各駅停車に乗らないようにしてください。快速は紫のラインが入った電車です。
MRT空港線台北駅は、ほかの路線の駅から離れています。乗り継ぎは一旦改札口を出て10〜15分徒歩で移動する必要があります。
台北市内は車の交通量が多く渋滞の可能性があるので、バス、タクシー移動は最小限にした方がいいです。

有名な観光地で時間的に観光可能かつ子どもが退屈しなさそうなのは、台北駅から乗り換えなしでいける、龍山寺駅近くの龍山寺（道教の古刹、パワースポットとして有名）、東門駅近くの永康街(牛肉麺の永康牛肉麺、マンゴーかき氷の思慕昔、ショッピング）、劍潭駅近くの士林夜市です。

MRT桃園国際空港行きの台北発の最終は23：00、始発は6：00。

参考に、５月に行った台北旅行記を張っておきます。
https://tabisuke.arukikata.co.jp/album/28009/

それほど時間は取れない

BR 67 TPE 0900 LHR 1925 via BKK 1135
しかし、14時半に着くのは名古屋からの中華くらい。まさか、台北から複数のエアラインで乗り継ぎではないですよね？

まず、14時半について15時から遊べると信じるのが信じられません。通常のラインに並べば1時間近くかかり、さらに移動に1時間近く必要です。しかも、翌日9時（半でも大差ない）に出るとなれば、桃園機場捷運の直達を使っても市内を7時前、遅くても6時45分には出ねばなりません。郊外なんて無理で、精々、夜市かB級グルメ程度で早めに床に就いて先の長い道中に備えましょう。はっきり言って大人は楽しめるが子供が楽しめるようなものは、その時間内では無理です。食べ物だって、かき氷程度で、子供が腹を壊しでもしたらそれこそ大変。衛生面にも気を遣わねばならないし。寧ろ、桃園市内に行けば、路地で子供が遊んでいたりして、日本人が失ってしまった日本らしさが垣間見られます。

宿に入り、食事でおしまいでしょう。夜市に行くにも、例のメジャーだが、人が多すぎる夜市ではなく、中心部のこじんまりしたもののほうが充実するでしょう。宿がどこかにもよります。