安宿はいっぱいありますよ

BR267 (1,3,7) TPE 0720 PNH 0950
CI689 (2,5,6) TPE 0725 PNH 1000
BR265 TPE 0910 PNH 1145

長栄のデイリーなら良いのですが、他は空港に行くのが結構きつい。
バスは最低でも40分掛かります。一応、二時間前に着くようにと
空港サイトでは言っていますが、90分前で大丈夫でしょう(45分前
に行ったこともありますが)。BR265でも7時半には着いていたいの
で、やはり早朝発になります。

安さだけを求めるのならば、サウナ入場料程度で泊まれる宿はあり
ます。空港には、荷物預かりがあります。
www.taoyuanairport.gov.tw/web/japanese/tourist/baggage_j.jsp
しかし、k-2さんが仰るように、日本でプノンペンまで預ければ良い
はず。敢えてこれを使う必要はないと思います。

飲茶は本来午後までですが、最近は24時間の店(あくまで広東料理)
もあるようです。また、台北で深夜営業サウナというと、二階にある
床屋(私は行ったことがありません)をイメージしてしまうのですが、
違うのかな?最近聞かないし。

安宿は500元くらいからあります(私はホテル重視派なので、泊まった
ことはありません)。また、時間貸しという制度もあります。普通の
ホテルでも落ちぶれてくると、怪しげな宿との区別が付かなくなるよう
です。

林森北路というところが、日本人向けの、多分歓楽街。24時間営業の
店があります。