エジプト渡航がシナイ半島のみであるならば、

エジプト渡航がシナイ半島のみであるならば、下記シャルムシェイク乗り入れ航空会社一覧を参考に。
それらを絡めた格安航空券検索をすると良いでしょう。

https://en.wikipedia.org/wiki/Sharm_El_Sheikh_International_Airport

アエロフロートのシャルム路線が復活すれば、おそらくそれが関東からの最安ルートの筆頭となりそうですが、
SUモスクワ・日本路線は現在成田だけの筈です。

MSも関空復活はまだ未発表。

上記リストで関空から一社でつながるのはTKくらいですか。

現況、日本発カイロまでの最も安い航空券＋LCC　（ナイルエア・エアカイロ）が現実的な選択肢と思われます。

航空券は出発日・利用空港・滞在期間によって価格が変わりますので、条件をいくつか変えて検索すると良いでしょう。

後学のため、あたりをつけたルートと時期・価格等をご報告ください。

他参考：https://jbbs.shitaraba.net/bbs/subject.cgi/travel/7927/