関空利用ではありませんが・・

ウェブチェックインして搭乗券をプリントすればプライオリティパスのラウンジは利用できると思います。
プライオリティパスの要件は当日の搭乗券で、自分で印刷かカウンター印刷かは問わないかと。

海外では自分で印刷した搭乗券やモバイル搭乗券で利用したことがあります。

また羽田空港ですが、自分で印刷した搭乗券で出国したことがあります。
結局その搭乗券では乗れず(空港内で呼び出し受けました)搭乗カウンターで新たな搭乗券をだされました。

どうしても早く出国したいのであれば、
ウェブチェックインして搭乗券をプリント→早めに搭乗カウンターで再度搭乗券をだしてもらう
という方法で可能なのでは　と思います。

関西空港での実体験ではないのであくまで予想です。