今は区別していないのでは?

厳密には仰せの通りなのですが、一般には区別していないと思います。
岩波広辞苑

うき【雨季・雨期】一年の中で雨(降水)の多い季節。熱帯では年間の気温変化が比較的小さく、雨の年変化の方が季節の推移をよく表し、通常、雨季・
乾季に分ける。わが国では梅雨・秋霖の時季が代表的であるが、日本海側で
は冬の降雪季もこれに当る。

かんき【乾季・乾期】一年の中で雨の少ない季節。特に、東南アジア・インド・アフリカなどは、乾季と雨季がはっきり分れている。

き【季】(4)一定の期間。「雨―」
き【期】(2)とりきめた日時。一定の時から時までの間。「定―」「思春―」