6月に行きました

旧市街、行けると思います。

私が行った時のポーランドへの到着はパリからでしたので入国審査はありませんでした。以下撮った写真の時間を参照にして書き出してみました。

9:32 着陸
9:37 降機、バスにてターミナルへ
9:42 ターミナル到着
9:48 荷物ピックアップ
9:53 タクシー乗り場到着、乗車
10:15 旧市街の入り口に到着
でした。

もしタリンから日本まで荷物がスルーであれば荷物受け取りの必要がないのでもう少しは早いかもしれません。
私の時はタクシーは並んでいませんでした。
タクシーはカードが使えるので両替せずに旧市街へ向かっても大丈夫だと思います（念のため乗る時にカードで支払いたい旨を伝えておくとより安心かと）
旧市街からは、旧市街の入り口あたりにタクシーが常に止まっています。または私は旧市街から空港へはU-berを使いました。そちらの方がややお得でした。（空港にもU-ber呼べるようですが、一般的に空港内への一般車の乗り入れの時間制限が厳しい事が多いのでピックアップの打ち合わせが面倒かなと思い空港からはタクシーにしました。逆は大丈夫なのですが制限時間が厳しいため我々はバタバタで降りてU-betは次のお客さんをバタバタで乗せていました）
U-berはワルシャワ滞在中に何度か使いましたが、危険な事は一切なく（ワルシャワは治安いいと思います。現地在住日本人の方もヨーロッパでトップクラスに治安が良いと言っていました）、お水を下さった方もいてとても使い勝手は良かったです。

旧市街はコンパクトなので、スムーズにいって10時前に到着出来るかなと思いますので時間的には2時間〜2時間半はとれるのでは？と思います。週末にかかるようであればお店の営業時間は要注意かもしれません。もし食事をする場合は時間のない旨をお店の方に伝えてから入店した方がいいかと思います。
諸々の支払いはカードがあれば両替しなくても大丈夫では？と思うくらいにカードが普及しています。

出国は日本便ではなく夜の便でしたので全く参考にのらないかと思いますが、パスポートコントロールの待ち時間はほぼゼロでした。（出国が必要なところにそんなに多く飛んでいないのか、窓口全体の数自体も少なかったです）

もしANAとかのスターアライアンスゴールドを持っているようでしたらターミナル右端のEのあたりがビジネス・スタアラゴールド用のカウンターがありその奥にはGOLD TRACK優先レーンがあるのでそちらからスムーズにセキュリティチェックを通れます。
LOTのラウンジは出国前にあります。出国後にもラウンジがあるのですが共用ラウンジでした。個人的にはLOTのラウンジの方がすきでした。

以上少しでも参考になれば。