桃園空港を1回しか使ったことがないので・・・

しかもその時は台北ではなく台中方向に向かったため、桃園から台北へ向かってどのくらいから自由に動けるかちょっと計りかねます・・・。
金曜到着なのですね。初日に九份に行きたいのは、土曜より金曜の方がすいている、と踏んでのことでしたら、そこは見込み違いかと・・・。
平日も日本人ツアー客で常にごった返しているらしいですよ。

初日に行けるかどうかは、十分瀑布の開放時間に間に合うかどうか、がポイントかと思われます。6～9月は9：00～18：00（最終入場17：30） by 台北ナビ。
ですので、台北から瑞芳まで約30分、瑞芳から十份までタクシーで約1時間として、プラスなにやらかにやらで1時間ほど余裕をみますと、逆算して15時頃までに台北駅を出発できる状況なら行けるのではないでしょうか。
と考えると、初日は厳しいのではないかという気がしますね。
台北から直接タクシーでも時間的にはそれほど変わらないかと思います。（台北から十分までタクシーで行ったことはないのですが、1時間では着かない気がします。）
桃園空港から直接タクシーで向かえば細かい時間がかからないのでぎりぎり行けるかもですが、間に合わない可能性もある、くらいの感じです。
桃園空港と、十分・九份は台北市を挟んで真逆の方向で、かなり離れていますので、そもそも十分瀑布に直接空港から向かってくれるタクシーがいるかどうかもハテナですし。
ということで、九份だけなら初日でも問題なくいけると思いますが、十分も一緒に、ということになると翌日の方が良いと思います。
私なら初日に淡水・故宮をもってきます。
迪化街、龍山寺、永康街、台北101は台北市内中心部にあるので、1日目の淡水に行く前に1か所（動線からすると永康街、もしくは龍山寺）、あとは2日目と3日目の午前中にもってくれば、だいたいご希望の場所は網羅できるかと思うのですが。