Budaepst に限って述べますと

どの両替所でも日本円からハンガリーフォリントへの両替は、レートが出ていれば受け付けてくれます。銀行に表示されているレートは現金用ではなく銀行送金，外貨預金もしくはクレジットカード利用時等のトランザクション用たと思います。ちなみに一部の両替所を除き両替所のレートの方が銀行のレートよりよいのが普通なので、銀行で現金を両替しようとする地元民はいません。

関係者ではありませんが、知りうる限り市内で手数料含めレートが一番いい両替所はここです。

http://www.goldchange.hu/

市内に支店が３か所あり、Blaha Luisa 広場地下鉄駅そばのニューヨークカフェ前にある本店？が旅行者には利用しやすいと思います。