少なくとも手続きはしてくれると思います

日本のビジネスホテルの場合は、杓子定規的に
時間厳守です。恐らく、フロントレベルには、
裁量が任されていないのではないかと思います。
掃除はほぼ100%外注なので、かりに客が早く出ても
掃除ができないことも大いにあり得ます。
下手すると、現金すら扱わせない、要するに
スキルのないスタッフでもできるように徹底的に
経費を削減しているのです。まあ、このため、
日本の宿は質の割に安いのも事実で、イタリアなんか、
質が悪いくせに、料金が高いほうが主流でしょう。

個人経営や逆に自前で掃除スタッフを確保している
宿なら、自由に掃除ができるので、頼んでみる価値は
あります。拍子抜けするくらい簡単に入れてくれる
ことも少なくありません。

また、先に書いたのですが、部屋の空き具合や掃除（準備）状況と
チェックイン手続きとは別物ですので、金庫が使いたいという
ことで、手続きだけ済ますことは可能で、それなら、堂々と
（部屋を使う訳ではないので）金庫で預かって貰えるはず。
宿の金庫（部屋のものは宿の側も責任を取らない）は、ホテルが
責任持って管理（客側にも課せられる）するので、安全です。
ただし、ホテルの安全管理にはピンからキリまであるように、
厳密な管理をするところもあれば、かなりいい加減、例えば、
客や時には外部者が勝手に入ることもできるし、本人確認を
きちんとしないところもあり、これは星数（イタリアの星は
国際基準からは最低でもマイナス1で大抵はマイナス2ですので）
との相関はありません。星はあくまで設備と税金なのです。

チェックイン前に預かるのは、責任の所在が曖昧になるので、
そもそもホテル側が現金等に関しては嫌がるはずだし、客側も
保証問題が絡むので止めたほうが賢明でしょう。

なお、第三者経由でも、ホテルには情報が入るので、ホテルに
直接メールしても構わないはずです。ただし、相手はイタリアです。
メールの返事が来る確率は半分以下でしょう。世界チェーンの
宿だと大抵は返事が来ます。意外なのが個人経営。大抵、
息子か誰かにネットが好きとか得意なのが居て、その
人がまめに書き込んでくれます。一番期待できないのが、
実質中級で団体様を多く受け入れる宿でしょう。