通しチケットですか？

チェックイン時に福岡までボーディングパスが出るのならば、さほど問題なく行けます。

アメリカは出国するときはあまり厳しい審査はないです。
フェニックス空港で出国手続きがあり、シアトル空港ではターミナル移動だけだと思います。

また、次のインチョンでの乗り換えですがインチョンではトランジットだけなら入国審査がなかった思います。
通しで、福岡までのボーディングパスがある場合ですよ。

荷物をチェックインの時にどこまでにしてくれるかが問題ですね。

あと、心配なら、ゲートで荷物も自分についてきているか確認した方がいいかもしれませんね。

無事に帰国されることを！