店によって違うと思いますよ

メディアの持ち込みをしたことがないので　その点についてはよくわかりませんが　店によってはメディア込みと持ち込みとで料金を分けて表示しているところがありました。
したがって　どこでもできるとは断言できませんが　持ち込み可能な店はあるでしょう。
その場合でも　自分で自由に焼かしてもらえる可能性は低いと思います。
なぜなら　わたしの経験では　管理者の手元のパソコンを焼き用専用としていることが多かったからです。
もっとも　これも店によっていろいろでしょうけど・・・・。

ひとつ言えることは　焼きに失敗したときのことを考えると　メディアも手間も先方に丸投げしたほうが安心です。
完全に焼けるまで　何枚失敗しても金を払う必要がないからです。

あと　CDの枚数が多くなるようでしたら　CDの収納用ファイルを持っているとなにかと便利ですよ。
ま　日本から持って行かなくても　現地で簡単に入手できますけどね。