単に観光だけが目的であれば、車かバイクが無いとかなり非効率的なように思えますよ。

>>島内の路線バスがあるようですが、やはり車がないと厳しいでしょうか？
→島のどこに行かれるか次第ですが、頻繁にバスが走っていないように思えます。（理由は、私は大島に何回か訪れたとこがありますが、単にこれまでに大島でバスに遭遇したことが無いというだけですけどね。）
大島の地形から判断すると、単に観光だけが目的であれば、車かバイクが無いとかなり非効率的なように思えますよ。
もちろん、目的が「しまなみ海道を歩く」や「しまなみ海道を自転車で走る」という目的であれば話は違ってきますが。

>>亀老山展望公園へ行くには、車以外では無理でしょうか？
→亀老山展望公園は山の頂上にあります。ですから、普通の方であれば、走行距離(国道317号線の分岐点から山頂までの距離)や標高差から判断して車かバイクがないとかなりつらいと思います。
もちろん、山登りが好きな方は歩いて登っています。また、自転車でハードなトレーニング好きの方も頑張って登っていますよ。
サイクリング好きの方でも、単に平地を走るのが好きな方にとってはかなりハードな坂道ですよ。
でも、天気が良ければ訪れてみたい場所ですね。
なお、路面は完全舗装されています。
※下記HPで、写真No.15～ が海老山展望台の写真です。海岸(海抜0m)から一気にこの高さまで登る必要がありますよ。
http://www.geocities.jp/gogo_kyoro_chan_77/volume_01/463_bando/index-japanese.html

島内サイクリングの場合、島内の中央を北西から南西に走っている国道317号線も軽いアップ・ダウンがありますよ。普段からサイクリングをしにている方(自転車好きの方)であれば、多少負荷のある心地よいアップ・ダウンです。
普段あまり自転車に乗っていない方(自転車を単に交通手段としている方)にとっては、多少つらいかもしれません。

島内のそれ以外の道は走ったことが無いのでわかりません。

ichi_maさんがどの程度の自転車好きかがわかりませんが、ご参考になれば幸いです。

”手軽にサイクリング”としてオススメは、「JR今治駅」または「サンライズ糸山(来島海峡大橋の四国側入口のドライブイン施設)」にあるレンタサイクル貸出所で自転車を借りて、来島海峡大橋(約4Km)を自転車で大島へ渡る　というのがいいかもしれませんね。(大島側のレンタサイクル貸出所に返却。）
※「大島→サンライズ糸山→JR今治駅」のサイクリングの様子は、下記HPの写真No258～　をご参照。
http://www.geocities.jp/gogo_kyoro_chan_37/volume_01/346_shimanami-juso-2011/index-japanese.html

では、秋の瀬戸内海・しまなみ海道を楽しんでくださいね！！！