普通に入国できます

　ドイツ、ハンガリーはともにシェンゲン協定加盟国ですので、日本からフランクフルト乗り継ぎでブダペストへ行かれる場合はフランクフルトで入国審査を受けますが、その後到着ロビーへ出て乗り継ぎ時間中に観光をしたり買い物をしたりするのは普通にできます。
　「乗り継ぎ」の案内表示ではなく「入国」の案内表示に従って進めばＯＫです。
　観光やお買い物を終えた後は、日本の空港でのチェックイン時にフランクフルト/ブダペストの搭乗券も出ていれば出発ロビーからそのままセキュリティチェックを受けて中へ入ります。その時点でも持っている荷物が機内持ち込み可能サイズ＆個数なら問題ないでしょう。

　復路の免税手続きですが、ドイツ、ハンガリー、フィンランドはともにEU加盟国ですので最後にEU圏を出るフィンランド（ヘルシンキ空港）で行うことになります。
　預け入れ荷物が日本まで通しで、この中にどうしても免税対象品を入れたい場合は出発空港（ブダペスト空港？）で行うことも可能です。
　ブダペスト空港の出発ロビーにある免税手続カウンターの位置は空港サイトのターミナルマップに記載されていたと思います。

　　　　http://www.bud.hu/