Re: アメリカ周遊、ストップオーバー、オープンジョー

まずオープンジョーとストップオーバーの違いですが、オープンジョーというのは、簡単に言うと、行きの終点と帰りの出発地点が異なる形です。すなわち、東京→ロサンゼルス／サンフランシスコ→東京のような形です。英語でJawとはあごのことですので、あごが開いているような形の旅程であることに由来します。上記の形（専門用語では目的地オープンジョーという）が最も一般的ですが、東京→ホノルル→大阪（出発地オープンジョー）や東京→ロサンゼルス／サンフランシスコ→大阪（ダブルオープンジョー）のような形もオープンジョーといいます。
それに対し、ストップオーバーというのは、途中の乗り換え地点で24時間を超えて滞在することです。24時間以内の便に乗り換える場合は乗り継ぎ（英語ではno-stopover）といい、ストップオーバーには含まれません。
さて、旅程及び航空券についてですが、まず、関空からの発着ということですと、現在関空からアメリカ（ハワイを除く）への直通便は、中華航空のニューヨーク行とユナイテッドのサンフランシスコ行しかありませんので、ものすごく限定されてしまいます。往復ともユナイテッドのサンフランシスコ便を使えば、行き・帰りとも乗り継ぎになりますが、全行程を含めた形である程度安い運賃があるはずです。
私の手元にあるユナイテッド航空の格安運賃（Fly Fares スーパー）の規則表では（ただし３月までのもの）、片道につき２回の乗り換え（ストップオーバーを含む）及び１回のストップオーバーが認められていますので（ただし往復ともストップオーバーする場合は追加料金が必要）、ユナイテッドの便が全区間とも飛んでいれば、関空→サンフランシスコ→アトランタ→ニューヨーク／コロンバス（オハイオ州）→シアトル→サンフランシスコ→関空の旅程を日本発の格安運賃でカバーできるはずです。
ユナイテッドの予約が取れないとか、どこかの路線に便がない場合は、東京発にすればアトランタ（デルタ航空）・シアトル（デルタ航空と全日空／ユナイテッド航空の共同運航便）とも直行便がありますので、もう少し選択の幅が広がるはずです。
まずはユナイテッドのホームページで調べるか、あるいは予約センターに電話して訊いてみてください。