参考までに

旅は人それぞれ、誰とどんな感じでなど様々な条件で変わってはきます、情報がありすぎて困る場合もあるのですが逆に活かすことも出来ますので僕なりの情報提供をしますね。

余裕が丸一日あるということは少し遠出されるんが良いのではと思います。国際通りや牧志の公設市場などは着いた日の夜や、出発日の朝に行かれても十分じゃないでしょうか、奇跡の一マイルと呼ばれた通り、国際通りは端から端まで往復しても３，２キロですし、日中はコンクリの照り返しなどもあって、動くのが嫌になってきます。正直首里城なども坂が多くて日中はかなりばてます。

沖縄は６月末には梅雨明けしていて、かつ台風シーズンの前ですので、ここはやはりビーチに出かけてみるのが良いのではないでしょうか。日差しがきついですが、太陽が真上から差し込む分水の透明度が抜群に増します、場所によってはプールより綺麗です。
ただ本島のビーチに行こうと思えばレンタカーが要りますので、上の方も書かれている通りここは那覇の泊港まで行って（タクシーですぐ）、離島に日帰り観光に行かれてはどうでしょうか？正直海の透明度、砂の細かさ、珊瑚の状態など本島と離島ではかなり違います。
那覇の泊港から日帰りで行ける離島は近い順で渡嘉敷島、座間味島、阿嘉島の３島です（渡名喜島、粟国島も行けないことはないですが海が違う）。
http://www.ritou.com/
こちらのページに詳しい情報が載っていますので高速船やフェリーでのアクセス情報を見て下さい。
因みにこの中でも僕のお勧めは阿嘉島です。ニシ浜は最高にいいです。人も少なく、修学旅行生も来ません、その分田舎ですが・・・
マリンスポーツなどされるなら座間味が一番だと思います。

それでは良い旅を！