小6の息子を連れて行きました。

他の方も言ってますが、ホテルは変えない方がいいです。
ゴシック地区は治安の悪さが指摘されています。
グラシア通り沿いのホテルの方が治安もいいし、アクセス的にも便利です。

ホテルを変わらなければ、荷物の移動もですが、疲れた時にひと休みしに戻ることができます。
小学生～大人でも連日の観光は疲れるもの、幼児には絶対休憩が必要です。
最終日チェックアウトした後など、荷物だけなら宿泊ホテルが預かってくれます。

初日は、たとえ夕方に到着したとしても、観光は入れない方がいいです。
噴水ショーくらいならと思うかもしれませんが、この日はよくて夕食を食べに外出する程度。
私はカップめんなど簡単な食料を持って行って、ホテルで済ますこともあるくらいです。
とにかく疲れを翌日に残さないことを最優先に考えてください。

観光の計画に無理はないと思いますが、他のモデルニスモ建築は見ないんでしょうか？
カサミラ、カサバトリョ、サンパウ病院は必見です。
もちろん無理のないスケジュールですから、どこにでも入れられるでしょうけど。

スーツケースが3つあれば、家族全員分の荷物は入りそうですね。
折りたたみバッグを持って行くようにして、帰りに荷物が増えたら、そこに入れてスーツケースの上に乗せるといいです。
機内には、必ず1泊分の最低の荷物を持ち込むことにしています。
ロスバゲにあった時に、焦らなくて済みます。
リュックでも機内持ち込み可能なキャリーでも何でもいいですから、下着一式と洗面道具などですね。

子連れ＋慣れない土地＋大荷物を考えると、基本的にタクシー利用がいいです。
もし全員が乗れるような大型バンタイプがあればいいでしょうけど、なければ分乗ってことになりますね。