現実的に不可能

皆さんがおっしゃるように、たった10日間、しかもバックパック旅行（＝飛行機やチャーターの車を使わない前提）でインドのその必須4ヶ所含め2～3ヶ国周り、かつ観光だけでなく現地の人々の生活も知るということは現実的に不可能です。
初めてのインドで10日間なら他の国に行くのはあきらめて、ゴールデントライアングル（デリー、アグラ、ジャイプール）＋ヴァラナシの典型観光コースが関の山ではないでしょうか。あまりバタバタしても移動ばかりになって、旅そのものを楽しめないですよ。スタンプラリーみたいな旅が好きなのであれば話は別ですが。

また他の方もおっしゃるように、インドの「現地の人々の生活」は普通の日本人の感覚ではハンパじゃないですし、本気でボランティアでもして一緒に生活するくらいの覚悟でもない限り、「現地の人々の生活」を知ることはできないでしょう。せいぜい市場をぶらついて、ローカルレストランに行くくらいが限界だと思いますよ。「現地の人々が使う」トイレの余りの汚さにもドン引きすると思います。

余談ですが、インドで販売されている牛乳の約7割が化学肥料、漂白剤、洗剤などで汚染されているというニュースがありました。地域によっては100%の町もあったとのこと。要はそんな国だということです。それもこれも受け容れて楽しめるなら、面白い国でしょうね。