問題ない

このような公的機関がパスポートを預ったり，番号を要求したりするのは問題ありません。預るのはオーディオガイドを確実に返させるため，番号は本人確認のため必要です。なお，「最後の晩餐」のチケットはできるだけ早く買って下さい。今はまだ年末年始ありそうですが，アッと言う間になくなってしまいます。サイトはご存知ですね。
http://www.vivaticket.it/index.php?nvpg[tour]&id=744&wms_op=cenacoloVinciano&SiteVersion=1&change_language=1

なお，ローマ市内で「バスタブつき10,000円」はかなり難しいですが，今なら不可能ではありません。ただ，中央駅からはかなり遠くなるでしょう。Booking.comなどの予約サイトで4つ★を選んで，設備をよく見て下さい。