Re: みなさんありがとうございました！

クレジットカード会社の審査係ではないのではっきりしたことは言えませんが、おそらく「学生なので（収入が少ないので）クレジットカード会社が大きな与信枠を設定できない」のだと思われます。（他のクレジットカードの延滞などはないとの前提です。）
つまり「本人の審査の問題」であって親御さんは関係ありません。

①一旦、２０万枠のクレジットカードを退会し、再度ＪＡＬカードの申し込み

20万円枠のクレジットカードを退会しても、JALカードの審査に通る保証はありません。
審査に落ちた理由が上記の通りであれば他のカードを退会しても「学生なので（収入が少ないので）カード会社が大きな与信枠を設定できない」状況に変化はないからです。個人的には20万円枠のクレジットカードを退会することはお勧めしません。

仮に本人が2回目の審査に落ちても、親の審査には関係ありません。
「2回目のJALカードを申請して審査に落ちたら、親御さんがJALカードを申し込む」方法はある思います。本人が落ちても親の審査には関係ありませんが、親御さんのJALカードが間に合うかは別の問題です。

②また、解約を考えているカードはVISAです。

上記①の通り現在持っているカードを解約することはお勧めしませんが、仮に解約するのであれば楽天カードだと思います。一般に銀行系のプロパーのカードのほうが流通系のカードより審査が厳しいです。
いったん解約してしまうと、VISAのほうが楽天カードよりもカードを取得できないリスクが大きいからです。（流通系ではなくて銀行系のVISAとの前提です。）

審査に落ちて楽天カードの利用枠を一時的に上げる場合は、JALカードの審査に落ちたことは関係しません。審査に落ちたことにより貴方に対する全体の与信枠は増えていない（変わらない）からです。
ただし楽天カードの利用枠一時引上げには審査があります。（仮に楽天カードの利用枠一時引上げにに落ちても、それはJALカードの審査結果とは無関係です。）

③カード会社によって審査期間は異なるので、私にはよくわかりません。