いい加減な旅行会社ですね

最初に確認しておきたいのですが、
仁川空港到着で乗り継ぎ仁川空港出発ですよね？

仁川空港の24時間以内の乗り継ぎの場合は、航空券購入時に事前に乗り継ぎの空港税を支払っています。
（乗り継ぎの空港税は普通の空港税よりも安いです）

乗り継ぎ時間が長い場合で空港の外に出る（一旦韓国に入国）しても空港税の再度の徴収はありません。
（何度も経験済みです）

荷物に関しては（往路の場合）日本出発の時に最終目的地まで荷物を預けたままで大丈夫です。
（復路の場合はウズベキスタンで日本まで預けて、一旦韓国入国が可能）

8時間の乗継だとソウルまで行くとちょっと慌しいかもしれませんけどね。
乗り遅れないようにしてください。