基本的には共通切符が使えます

こんにちは。パリを含むイル＝ド＝フランス地域の公共交通機関の運営は、主にフランス国鉄（SNCF）、パリ交通公団（RATP）、Optileの3事業者によって行なわれていますが、共通運賃制度が発達しているため、メトロ全線、RERの市内区間、一般の路線バスは事業者によらず均一料金となっているので、利用者が事業者の違いを意識する必要はありません。
郊外は行き先によって料金が異なりますので注意が必要ですが、ゾーン区分の切符なら共通で使えます。

以下、ご質問への回答です。
①ヴェルサイユ（ゾーン1-4）、フォンテーヌブロー（ゾーン1-6）はイル＝ド＝フランス圏内なので、モビリスなどの該当ゾーンの共通切符が使えますが、シャンティイは圏外（ゾーン6を越えている）ので、行き先までの切符を買う必要があります。SNCFでもRERのD線でも行けたと思います。
②市内の電車は自動改札なので、切符の「刻印」はSNCFで郊外にいくときだけですね。ただ、窓口で買った切符は刻印不要といった例外も多数あります。
③RERは郊外では地上を走る近郊鉄道ですが、パリ市内は地下を走るのでメトロと紛らわしいのですが、運行主体は主にSNCFです。

なお、電車の中はスリや置き引きが多いので、荷物にはご注意を。