１１～１月に、２月でもいいですが

１１～１月が一番涼しい（２月も可）なので正月早々がいいです。安くなる一番早い日で。
３ヶ月なら１２月発がいいかと。

１ヶ月ならデリー、アグラ、カジュラホ、バラナシ、カルカッタ、ムンバイ、アジャンター、エローラ、ウダイプル、ジャイプルくらいは列車で一周できます。

２ヶ月なら、ラージャスタン地方のジョードプル、ジャイサルメール（計１週間）とチェンナイ、ハイダラバード、ウーティ、ゴア、バンガロール、マイソール、マドライなど南インド各地（３週間）を+がいいかと。

宿はYHも選択肢に。ゴアに素晴らしいYHがあります。
http://www.jyh.or.jp/