ペルーに行くなら

アンデス3国とアマゾンの乾季は５～9月

アンデス山脈中央部の高原状をなすエクアドル、ペルー、ボリビアをアンデス3国ともいいますが、3国と広大なアマゾン流域（ブラジル北部と）ペルーのイキトスなど）は５～9月は乾季（冬）なのでこの時期がベストというかこの時期以外は控えたほうがいいでしょう。
冬ゆえ朝晩は冷えますが日中は絶好の気温です。
問題はボリビアのウユニ塩湖は雨期に絶景が見れるので、アルゼンチン、チリ、ブラジル南部（リオ、イグアス、イースターとともに日本の秋～春に行くのがいいかと。メキシコ、中米、カリブ海もこの時期が涼しくていいです。

というわけで10月も1月も雨期だと思いますが、1月だと雨期真っ盛りで2回も洪水で身動きが取れなくなったマチュピチュへは10月がベターかと思います。
本当は3国とアマゾンは日本の夏に行くのが一番なのですが。

アンデス3国という呼称は存在しない

マルコポーロ3さん

既に外務省に照会してそのような呼称は無いと確認しております。そのこと何度言ったらわかるのですか。

雨季と乾季の違いは分かりませんが

数年前、9月にマチュピチュとナスカに行きました。
回答になるか分かりませんが、ナスカはまず雨は降りません(雨が降る土地であれば地上絵はあそこまできれいに残らないそうです)
マチュピチュは朝晩かなり寒く、ワイナピチュ(マチュピチュの後ろの山です)に登山したくて3時から並んだ(先着300名とかだったかと…)こともありますが、革ジャンに手袋でも我慢出来ないくらい寒かったです。
日中はTシャツで過ごせますが、ピーカンだったかと思えば10分程で雷が鳴り始めたりと天気は目まぐるしく変わっていました。
1月に行った方のコメントも参考にされた方が良いかと思いますが、なんとなくそれ程雨季と乾季で降雨量の違いはないのではないかと思います。ペルーだけのお話であまり参考にならないかもですが…
六大陸制覇ですか、夢がありますね！
私もあと一歩ですが最後の難関が(^_^;)
それでは良い旅を！