重複回答ですが

　既に回答もあり　重複しますが、制限区域内のトランジットホテルで24時間以上は時間を持て余しますよ。また、荷物もスルーにして、24時間以上台北空港で放置されるのは一抹の不安を覚えます。

　何らかの理由によるフライトの選択でしょうから　有効に時間を活用して、入国後、荷物も受け取り、台北の雰囲気を少し楽しむのが良いでしょう。

　不要な荷物は、ターミナル内に荷物を預けて（24時間以上放置されるよりはいいのでは）、市内へ。
　ただし　預かるところの営業時間を確認しておくこと。ちなみに荷物は北京語で行李（シンリ）です。

　市内への移動手段は、乗り換えなしのバス利用で、ホテルも沿線を選択すれば良いかもしれません。
　バス会社のリンクです。4社あるので、ホテルに近いルートを選択する。
　http://www.daisuki-taiwan.com/hatsu/hatsu004/hatsu004.php
　http://www.tabitabi-taipei.com/kihon/imgr/airbus_in.php

　ホテルは、日本語が完ぺきに通じる方がよいなら、サンルート台北（燦路都飯店）があります。週末であれば、NT$1800です。（6000円弱）中山北路と民権東路の交差点にあり、バスは中山北路を通る会社が良いですが国光客運の松山空港行であればホテルの前を通ります。ただ中興号に乗ると、値段も安いが　停車が多いので時間がかかります。

　台北でどうするかは、空港バスのリンクしたサイトに情報もあります。

　最後にJORGEさんからのアドバイスにあるとおり、汗をかくのでどうするかはあなた次第ですが、トランジットホテルでシャワーのみの利用も可能です。利用時間21.00までの案内があったような気がします。
　http://www.evergreen-hotels.com/branch/content/rooms/rooms01.aspx

　余裕をもって、空港に戻るようにしておく事は、言うまでもありませんね。