でも「料金23S$の表示だったのが」というところが変ですね

定額の場合、初めからメーターが「Ｆ　４５」のような表示のような気がします。
定額料金制の高級タクシーでも、メーター制で利用できるのでメーターで走ってから、とっさに定額制に切り換えて請求したのかもしれません。
そうなると、乗車した時点でどうだったのかが鍵になりますが、既に支払いを終えて帰国してしまったので苦情を申し立てる手があるにしても、水掛け論になる可能性もあるでしょう。

次回、このような状況に遭遇した場合は、まずリムジン・タクシーなど高級タクシーなのかどうか確認すること、その場合、走る前、あるいはすぐに定額制なのかメーター制なのか確認すること、最後にレシートを発行させて、余分な予約料などが上乗せされていないかを確認すること、以上を気をつけてください。
どの時点においても問題がありそうな場合は、その時点できちんと確認して相手に納得させることが大切です。
たとえば運転手が何か言ったけれど英語がわからなかったので、あいまいに返事したとか、返事しなかったとすると、高い料金でも乗客が了解したとみなされるでしょう。