話を総合すると

他の人のスレに対する回答なども見てみると航空券については運賃をカードで決済すればOKだが空港税、発券手数料など関連費用は対象外、サーチャージは燃油特別付加運賃だから運賃の一部として対象という見解のようですね。

それから他のスレで答えておられましたが今回は航空券の種類（マイレージの特典航空券なのか正規運賃なのか）は問題ではないような気がします。（カード会社の回答が適当なので混乱されているようですが。。）

要は今回の旅行の中で交通機関の「運賃」を一切、カード決済していないことに問題があるように思われます。（これまた、カード会社の担当者の回答が適当なので混乱をきたしていますが。。「手引き」を見ていないのでよくわかりませんが、サイトのあいまいな表現といい、ちょっと会社としての姿勢を疑ってしまいますね。。　ちなみにサイトには「詳細は利用の手引を。。」と書かれているので手引きの方が正文のようです。）

カード会社も最近は収益が減り、目に見えにくいところでコストダウンをしているようですが、ここまで複雑にするとクレームが多くなり、それに対応する費用によるコスト増の方が馬鹿にならないような気がしますね。別の意味で他山の石にしたいです。

ちなみにかつては海外での医療費は一切健保の対象ではなかったですが、最近は書類さえそろえれば一部利くようですので昔ほどカード付帯の保険のメリットがなくなってしまいましたね。（任意の海外旅行保険のようにキャッシュレス治療は受けられないし、後遺障害・死亡保険に比べ一番必要な治療費用の限度額が異常に低いし、現地のアシスタントサービスも受けたことはありませんが似たり寄ったりなのでしょう。）
保険金が請求できるということは現地の医療機関のレシートなどはある程度そろえていらっしゃるようですからこちらに力をいれてはどうですか？

先述したように今回のケースは保険会社-カード会社間では免責条項のようですからカード会社の説明不足を立証できないと保険金を勝ち取ることは難しいと思いますよ。

ただ、サーチャージは交通機関の運賃に該当し、航空券の発券手数料は該当しない見解であるということがわかっただけでも非常に参考になりました。

もし、機会があったら、半額だけマイレージを使った場合（デルタ航空などであります)、正規航空券だが運賃部分が無料で発券手数料、税金等だけカードで決済したらどうなるのか(ヨーロッパのLCCだとラストミニットでそういうケースがあります。多分発券手数料分だけでも稼ぎたいのでしょう。ものすごくレアケースかもしれませんが。。）利いてみてください。