確か、昔は在ったんですが・・・・

もう20年位前ですが、国際線ターミナルか2番ターミナルに有料の仮眠室とシャワーが在ったと記憶していますが、あちこちのターミナルがそれから何度も改築していますし今はどこのターミナルにも無いようです。
（昔、国際線ターミナルにあった荷物一時預かり所も随分前に無くなってしまいましたし・・・）

ファースト/ビジネス・クラスのラウンジでも、UAのRed Carpet Clubには無いですし、T2のNWとACのラウンジにも無かったです。
JLのSakuraラウンジは、成田にはシャワーが在ったと思いますけど、LAXのサクラ・ラウンジにシャワーがあるという話は聞いた事が無いです。
AAのAdmiral Clubにはシャワーが有ると聞いた事があります。

近くの安めのホテルに部屋を取るか、
LAX Hiltonと、Crown PlazaにビジターOKのフィットネス・クラブが有りますから、クラブ利用料を払って（ホテル宿泊料よりは安いですから）シャワーだけを使うという手もあると思います。

南米からという事は、入国に約1時間でJAL搭乗2時間前にチェックインとすると、中3時間しか無いですね。
近くのホテルへ行って（フィットネス・クラブを利用するにしても、部屋を取るにしても）手続きしてシャワーを浴びたらとんぼ帰りという事になると思います。
ランチの時間も入れると、結構慌ただしいかも知れませんね。