列車にはあまり詳しくはないのですが…

青森県民です。
１泊２日で、レンタカーなしだとけっこう大変なスケジュールかと思います

１．三内丸山遺跡は市内より外れていて、タクシー利用なら大丈夫（約30分ほど）だと思いますが、バスを考えているな本数は少ないと思います。駅から徒歩５分ほどなので、古川市場は問題なく行けると思います。

２．弘前～青森間は特急を使うほどではないです。１５分ほどしか変わりません。

３．冬のしかも夜の弘前城は暗いだけであまりおもしろくはないかと思います。今なら雪灯篭祭りをしていますが、今週で終わってしまいますし…むしろ朝に行ったほうが、運がよければきれいな岩木山を見ることができると思います（公園内に岩木山が見えるスポットがあります）。最勝院五重の塔は小さいもので、特に観光地化はされてないので、あまりおすすめはしません。。（ちなみに弘前には100円バスがありますが、５時くらいまでに終わるような気がします）
　　
４．冬に十三湖に行っても寒いだけで、特になにもありません。ほとんど閉まっている気が…しじみラーメンの有名なところは少し離れたところにあります。

５．不老不死温泉、千畳敷などは夏に行くほうがいいと思います。私も冬の不老不死温泉は行ったことはないのですが、外に有名な露天風呂があるので、寒くて入れないと思います。

疑問に思ったのが、青森なら「ねぶたの里」、弘前なら「ねぷた村」、五所川原なら「立佞武多の館」などは興味がないのでしょうか？ねぶたが展示されているので、県外の方なら大抵喜んでくれます。むしろそれ以外にあまりおすすめできる観光スポットがないような…

また、冬の青森は雪が降ると電車、バスが大幅に遅れたりします。特にバスはひどく、友達が吹雪の中青森から五所川原までバスで行ったとき、１時間以上かかったといっていました。青森・弘前市内も雪道では30分のバスの遅れは当たり前です。
雪道に自身がないなら無理に運転することはすすめませんが、青森は観光名所が離れているので、レンタカーも考えたほうがいいです。

私なら今回はストーブ列車がメインということと、日程も１泊２日なので、青森市と五所川原市に絞って観光されたほうがいいと思います。
天候により大幅に旅程がくるう可能性が高く、弘前に５時くらいに到着しても、うす暗く寒いのであまりおすすめはできません…
夏場もしくは来年あらためて、弘前～深浦方面を散策することをお勧めします。（深浦方面は冬場に営業していないところもけっこうあるので…）深浦方面に行くならぜひ「青池」は外さないほうがいいと思います。

参考までに失礼しました