ひとつだけあります

>シェンゲン協定国に90日以上滞在する方法はありますでしょうか？

ひとつだけあります。オーストリアは日本人に対して6月まで無査証の滞在を認めています。

ただし問題はオーストリアに限らず協定国に入国してから90日経つと他の協定国には行けなくなってしまうことです。

空路だと協定国以外の国への移動も可能だと思いますが、陸路はオーストリアはすべて協定国に囲まれているので、出入りができなくなるはずです。

とは言うものの裏技ではありませんが、鉄道も道路も協定国同士の国境では通常は係もおらず旅券、査証のチェックはありませんので、国境を越えての出入りはできなくはないと思います。しかし時々抜き打ちのチェックがあることも事実で発覚するとそれ相応の処罰は覚悟しないといけません。