仁川経由でしょうか？

成田、関空に飛ぶのならそこですれば良いのですが、福岡から
仁川に飛ぶとすると機会は、佐賀県、福岡空港、仁川、フランクフルトの
空港。

国内なら、
福岡銀行国際線出張所が一番オーソドックス。2階にあります。
福岡空港支店は国内線にあり、地下鉄から乗り換えバスとは反対方向に
向かえば見つかります（第2ターミナルビル地下1階）。
外貨両替FAX予約サービスもあります。
ティスコジャパン外貨両替サービスはユーロ取り扱いなし。
国内線福岡空港郵便局でも可能ですが、ユーロの扱いはない。
ただし、店舗は200ユーロのパッケージとかでしょう（100もあるのかな？）。
市内に昼間居るのならば、天神か福岡駅の大黒屋。10ユーロでも可能です。
レートも悪くない（一円程度の攻防ですが）。

佐賀銀行の外貨宅配
//www.sagabank.co.jp/service/moneyport.htm
楽と言えば楽。
店舗での扱いは本店、鳥栖支店、唐津支店、武雄支店など。
ユーロの扱いは聞いてみてください。

レートが10円違っても、必要額は100ユーロ程度なので、経由地の
空港や到着空港でも良いと思います。