あります

とても簡単です。なぜ見つからないのかが不思議です。
答えはエジプト航空です。
関空→カイロ→イスタンブール→カイロ→関空という航空券です。
関空発イスタンブール往復でカイロに行きか帰りでストップオーバーします。
イスタンブール→カイロは陸路にしたければ、イスタンブールin、カイロoutも可能でしょう。
関空発、着とも月曜と土曜です。
あとはカタール航空やエミレーツなんかもありますね。この2社だとイスタンブール→カイロを飛ぶことはできませんが。

もし、ネットで検索して見つからないと悩んでいるならそれは間違いです。航空券のパターンは無数にあるので、ネットに全部載せることはできません。
ですので、まず旅行会社に聞くことです。
わざわざ成田まで行く必要はまったくありませんよ。
基本的に同一航空会社で就航してる都市へは格安航空券の設定はあります。
関空なら中東のエジプト航空、カタール航空、エミレーツ航空です。