ＪＦＫの乗継には、普通ターミナル移動があります

最初の AtoAさんのご返答のように、ＪＦＫでは、サンフランシスコ他と違って、ターミナルが航空会社で独立していると考えた方が適切です。

ＪＡＬでターミナル１に到着したら、人の流れに沿って入国審査を受けて、手荷物を受け取ったら、税関検査を通って、外に出ます。

他の空港のように、「乗継便に預入れるカウンターで」という手続きは忘れて、手荷物をかかえて、ＡｉｒＴｒａｉｎに乗った方が安心です。
もちろん、手荷物に異常がないかよく確認して、破損等があればＪＡＬの窓口に行くことをお忘れなく。

これで、たとえば乗り継ぎ便がアメリカン航空であれば、ＡｉｒＴｒａｉｎをターミナル８まで乗ります。（ＡｉｒＴｒａｉｎは、どこ行きに乗ってもターミナル８に行けます）
空港内は無料ですので、切符など心配は要りません。

ターミナル８では、チェックイン・カウンターで、手荷物を預けて、該当する便のゲートに向かいます。
セキュリティー・チェックが、どの時点でどのようにあるかは、新しいターミナル８は未経験なのでわかりません。

なお、ＪＡＬ便と言いながら共同運航（コードシェア）の場合で、実はアメリカン航空運航便の場合は、ターミナル８に到着します。
この場合は、上記の流れのうち、荷物を受け取ったら、乗り継ぎ便に所定のカウンターで預ける事になると思います。

ＪＡＬとアメリカン航空の組み合わせであれば、現地まで発券される可能性は高いですが、そうであっても、ターミナル８のチェックイン・カウンターや、搭乗ゲートにあるカウンターなどにこまめに立ち寄って、予約やフライトの確認を行うようにした方がよいでしょう。