海外送金について

海外送金はほとんどの銀行で取り扱っています。
CITIバンクでなくても近くの銀行で大丈夫です。
銀行に行くと専用の海外送金依頼書をもらえますので記入しましょう。
主に必要な記入事項は
①送金依頼人の情報
②受取銀行の情報(SWIFT、銀行・支店名等)
③受取人の情報(病院の名前、住所、連絡先等)
④金額
⑤手数料負担区分(依頼人負担or受取人負担)
　※契約金の場合は通常依頼人負担。
⑥資金目的

大まかに上記の情報記入が必要だと思います。
ちなみに送金にあたり免許証等本人確認書類と契約書等の提示を求められるかと思いますので念のため持参したほうがよいでしょう。

銀行がフォローするかという点ですが、送金するという依頼に基づく義務は遂行しますが。いったんその銀行からお金が出てしまうと着金したかはその振込み先の銀行に問い合わせる必要があります。
過度なフォローを期待しない方が良いと思いますがまずよほどのことが無い限りお金は届きます。
まずはロシアの支払い先である病院に「Реквизит」をくださいとメールすれば振込み先の詳細を書いた書類をもらえると思います。
後は契約後支払えばお悩みの件は解決出来るはずです。
頑張ってください!!