まず不要でしょう

>香港での乗り継ぎ時間が長いため空港を出て時間を潰そうと思うのですが、

CXで乗り継ぎとして話を進めます。そうでないのなら話は違ってくる可能性
はありますが。

ストップオーバーもしくは24時間以内でも翌日になるのなら、空港使用料が
必要です。航空券中に「HKG X」となっている場合、香港での途中降機を想
定していないので、空港使用料は切り込まれていません。逆に香港ストップ
オーバー可の航空券で、香港到着便と乗り継ぎ便との日にちが異なる場合や
オープン航空券の場合、必ず空港使用料が加算されています。香港滞在を明
示しない限り、通常同日乗り継ぎで発券するので、空港使用料は含まれてい
ません。また、日本国内から出る時点で欧州か豪州への搭乗券が出ています
ので、香港でカウンターに立ち寄る必要もありません。日本で貰った香港行
きの搭乗券の半券を受け取ったら、香港以遠の搭乗券を大事にしまい、香港
到着時にイミグレーションで入国書とともに見せます(搭乗券は出さなくて
も普通は問題にはなりませんが、一緒に出しておけば余計なトラブルはない
でしょう)。香港出国の際には、パスポート、出国書と搭乗券を提出すれば
良いだけです。航空券を関係者が見る機会は一切ないため、あなたが空港使
用料を払っているかいないかは、知る由もなく、誰も関心がないのです。要
するに、ボーディングパスを貰った時点で、その後入国しようがしまいが我
関せずなのです。

香港に滞在するか、出国が翌日になる場合は、日本で香港以遠の搭乗券は出
ませんので、香港で再度チェックインが必要です。これが出国ロービー(一
度入国した後)ならば、CXのチェックインカウンターで空港使用料を徴収さ
れます。普通はチケットに切り込まれているはずですが、「HKG X」でも24
時間以内なら滞在できるので、切り込まれていない場合も皆無ではないでし
ょう。

まとめ

まず払う必要がないし、払いたくとも払う機会がない。特殊な場合に払う必
要があるが、それは香港でチェックインする場合。それでも必要か否かは赤
い服を着たおねーさんが判断してくれます。

昔は旅行が三度の飯よりも好きという方が旅行代理店にいましたが、大手以
外では喰って行けず、必ずしもスキルのあるかたや、正確に状況を把握して
いるかただけではなくなっています。恐らく、その代理店のかたが仰ってい
ることは正しくないと思います。