まずはクレジット会社&保険会社に電話を!

ちぇぴさん、こんにちは。

私の場合、以前旅先で盗難に遭い帰国後に保険請求を行いました。
請求はどちらにも行いましたが(要書類提出)、加入保険会社が複数ある場合「補償額×加入保険会社分」を受け取れるのではなく、「補償額を複数で按分」し支払ってくれます。振込は一括です。

事故報告書があるなら、まずは双方に電話をしてみてください。
すると、必ず受付の方が「他に入っている保険があるかどうか」確認してきます。
クレジット会社もとりあえずわかる番号に電話すると(インフォメーション、利用額請求の問い合わせ先でも可能)、提携保険会社に連絡を取ってくれ、そこからちぇぴさんに連絡があります。

あとは、保険会社の「指示に従う&疑問点は確認する」で大丈夫だと思います。