追加:現時点での計画ルートです。

先ほどの件ですが、少し具体的にします。

前の日にすでに台北に着いている(あるいは台北を観光している)として、次の日を1日めとし、13日めに台北に戻ってきて泊まるというのが最低条件です。
またできれば、阿里山で初日の出を見たいので、8日め～10日めの間(このあたりは台北を先に観光するか、後で観光するかで調節します)に阿里山に到着していることが条件で、
おおよそ台中周辺1泊、台南2泊、高雄2泊、墾丁1泊、花蓮または太魯閣(もしくはさらに奥の温泉)2泊、日月潭(あるいはその周辺の温泉)2泊、阿里山2泊、そして13日めの台北1泊です。
またできれば台湾新幹線にも乗ってみたいです。

細かなことで恐縮なのですが、台湾の鉄道は車と同様右側通行なのでしょうか?また単線でしょうか?複線でしょうか?(特に南廻線、東部幹線の海岸沿いが気になります。)もし複線で右側通行ならば反時計回りで、右側の座席に座った方が景色がいいですよね?
また鉄道で一周する際、特に見逃せない景勝区間はどこでしょうか?

現時点では2通りのルートを考えています。

1つは少し無駄があるのですが、
台湾新幹線にも乗れて先ほどの太魯閣～日月潭が行けるとして、
1日め:台北～(新幹線)～台南。台南観光。
2日め:台南観光。
3日め:台南～高雄～墾丁。墾丁周辺観光。
4日め:墾丁周辺観光。墾丁～高雄。高雄半日観光。
5日め:高雄観光。
6日め:高雄～台東。台東を少し観光。台東～花蓮。
7日め:太魯閣渓谷観光。太魯閣かその奥の温泉泊。
8日め:太魯閣～日月潭。
9日め:日月潭周辺観光。
10日め:日月潭～阿里山。
11日め:御来光。阿里山周辺ハイキング。
12日め:阿里山～(森林鉄道)～嘉義～台中。
13日め:台中周辺観光。台中～台北。

もう1つは、時計回りのルートで効率はよさそうですが、鉄道が複線なら内回り線になるのと、新幹線に乗れないのと、山越えができないのが少し残念です。
1日め:台北～花蓮。花蓮観光。
2日め:太魯閣観光。
3日め:花蓮～台東。台東を少し観光。台東～高雄。
4日め:高雄観光。
5日め:高雄～墾丁。墾丁周辺観光。
6日め:墾丁～台南。台南半日観光。
7日め:台南観光。
8日め:台南～嘉義～(森林鉄道)～阿里山。
9日め:御来光。阿里山周辺ハイキング。
10日め:阿里山～日月潭。
11日め:日月潭周辺観光。
12日め:日月潭～台中。
13日め:台中周辺観光。台中～台北。

これらのルートの可否やお勧めポイント(特に温泉)、「もっとこうすれば」などのアドバイスがあれば、お聞かせいただければ幸いです。

九分(ホントは「にんべん」に分)や淡水あたりは台北滞在中に行く予定です。

以上よろしくお願いいたします。