注意するのが一番ですが

はじめまして。
4月に1週間ほどロンドンに一人旅をしてきました。
ピカデリー近くではなかったですが、ミュージカルも見てきました。
私の場合、やはり夜の行動が心配だったのでミュージカルは土曜の昼間公演を選びました。もしお昼の公演があるのであればそういう選択もありですね。

ロンドンの地下鉄は注意していれば安全だと思います。
私も地下鉄とバスだけでロンドンをうろうろしてましたし。
私の滞在ホテルはRavensCourtParkというところにあり、少し中心部からは遠かったのですが、4月のロンドンは夜8時半くらいまで明るかったのでそれほどビクビクして行動する必要がありませんでした。
8月はもう少し遅くまで明るいかもしれませんね。
ただし、Piccadilly Circus周辺はSOHOもあり、各国の観光客だけでなく、ロンドン若者っ子が夜遅くまでたむろっています。
人が大勢いるから安全と考えるか、遅くまで酒を飲んで楽しんでいる人たちの中には危険な人もいると考えるかはいろいろあるでしょうが、
10時くらいなら気をつけておけば大丈夫だと思います。

質問されていたGoodge Stやホテル付近については回答できませんが、何かの参考になれば。
気をつけていってらしてください！