不可能ではないが、きついでしょうね。

行程としては、釜山の地下鉄1号線で　　　　　　釜山のホテル午前6時
北端のノポドンへ行き、そこから
市外バス(高速バスは本数が少ない)、　　　　　ノポドン発7,00
慶州市外バスターミナルへ着くと、
観光案内所で市内バスの番号を聞き、
(あるいは歩き方を参照し)　　　　　　　　　　慶州バスT発8,30
市内バスで仏国寺へ、　　　　　　　　　　　　　仏国寺着9,15
同じ方法で帰ってくる、　　　　　　　　　　　　仏国寺発10,15　　　　　　　　　　　　　　　
慶州からは東大邱駅前に行く　　　　　　　　　　慶州バスT発11,15
市外バスを選択し乗車、　
東大邱駅からは地下鉄で　　　　　　　　　　　　東大邱駅12,00
大邱西部市外バスターミナルへ、　　　　　　　　西部バスターミナル　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　発13,00
そこから市外バスで海印寺へ、　　　　　　　　海印寺バスT着14,00
海印寺から市外バスで　　　　　　　　　　　　　　　　　　発15,30
西部市外バスターミナルへ、　　　　　　　　　西部バスT着　16,45
そこから地下鉄で東大邱駅へ、　　　　　　　　東大邱駅発　　17,45
そこから列車で釜山へ。　　　　　　　　　　　釜山駅着　　　19、00
バスだと間に合わない。

ハングルの地名がきちんと読めること(必須条件)
韓国語がある程度話せること

かなりヤバイですよ。