バスルートが

うまく新幹線と接続出来ればいいですが
それも難しいがどうしても予定通りに新竹に宿泊したいというのであれば
長距離バスの乗り継ぎで何とかなると思いますよ。(時間はかかるが値段は安い)
①空港から台北駅まで空港リムジンバスで行く。(だいたいNT$125～140くらい。)
②台北駅の西に位置するバスターミナルから新竹まで行く。(バス会社にもよるがNT$100～140くらい)
トータルでもだいたいNT$225～280くらいで収まります。
台北駅～新竹駅までの最終バスも23:00～24:00くらいまであります。
時間は渋滞していなければだいたい2時間半～3時間くらいで空港から新竹駅前までつけると思います。