一度、ガイドブックにも目を通してみてください。

けっしてミラノだけが特有ではありません。
イタリアのガイドブックのショップやレストランのリストで営業時間等を確認していただくと分かりますが、大抵のお店は7月15日～8月とか、8月とか休みになっているところがほとんどです。
ミラノの以外の街も例外ではありませんが、ただ、観光がメインの産業になっている街(ミラノは観光資源もありますが、基本的には商業都市で観光に依存している部分は少ない)では、ミラノよりは開いているお店が多いというだけの話です。

博物館や美術観などは大抵開いているので観光そのものに支障はありませんが、タバッキやバルも閉まっていることが多々あるので、タバッキでバスのチケットを購入するつもりでいたら、どこも閉まっていて買えないということもあります。夏だと同じ理由で水が買えなくて困ることもあります。観光地では人の足元を見て馬鹿高い料金で飲料水を売っていることもあります。

本当は時期をずらせるならそれにこしたことはないのですが、今からでは変更ができないのであれば、バスなどを利用する予定なら駅などであらかじめチケット(ある程度使う予定であれば、一日券や三日券などを購入して上手く利用する)を購入し、ミネラルウォーターもそこそこの値段で売っているところをみつけたら、少し買い貯めて置くようにしましょう。ちなみにイタリアの水道水は硬水ではありますが飲料可能です。街の通りにもところどころ飲み水があるので(最初は見つけるのが大変ですが)、空のペットボトルがあれば補給しておくと良いでしょう。

以前、夏のイタリアでは、気をつけていたにもかかわらず、夫が熱中症になったことがあります。閉まっているお店が多いと、行きたいと思ったときにトイレに行けないかもと思って水分を控えてしまいがちですが、日差しがキツイし、体調のためにも水分補給は充分に行ってください。

「最後の晩餐」と「ドゥオーモ」と「ブレラ美術館」程度を見て回るなら地下鉄利用で回れば良いので、ホテルは中央駅前で良いと思います。