無理です

台北の最大の問題は空港からのアクセスが道路しかないということ。
渋滞は常に起こり得ます。早ければ40分の時もあれば、二時間掛かった
こともあります。普通は往復で二時間は見ておきます。行きが一時間だ
だったとしても帰りに二時間掛かることも考えると、滞在時間は一時間も
ないでしょう。ただし、空港には一時間前でも大丈夫です。

さらに、台北駅など一部を例外として、バスがすぐにくる訳ではありませ
ん。気長に待つこともあります。その上、目的地からバス停までの移動も
あります。

台北に慣れていれば迷うことはないし、割合に簡単に移動ができますが、
そうでない場合には、余計な時間が掛かります。

さらに、外に出れば必ず汗をかきます。汗をかいたまま長距離便に乗るのは、
本人にも周囲にもつらいものがあります。ですから、空港でシャワーを浴び
ることができないのであれば、おとなしくしておくべきだと思います。
また、例えシャワー施設が利用できるクラスや地位にあっても、それに掛か
る時間を考えたら、6時間半は決して長くはないでしょう。

桃園という手もありますが、日本人慣れしている台北と異なり、桃園はある
程度中国語ができるとか、慣れた人でないと却って危険(治安という意味で
はありません)です。

観光など考えずにおきましょう。そもそも不便なので料金が安いという点
もあるわけで、仕方ないと諦めましょう。