ハンガリーで入国はしないといけないのではないでしょうか？

日本からの渡航であれば、ハンガリーが最初のシェンゲン協定国なので、入国審査はハンガリーで行われるのではないですか？ハンガリーで入国手続き後、そのまま乗り継ぎという形でバルセロナまで飛ぶことになろうかと思います。なお、ブダペストからバルセロナはLCCということですが、そのLCCのアプリをスマホにダウンロードしておき、事前にオンラインチェックインしておけば、アプリが搭乗券となるので、ブダペストでは直接搭乗ゲートに向かうだけですぐに搭乗可能ですね。