私なら・・・

利用航空会社に直接照会します。
Ex. https://www.vueling.com/en/vueling-services/prepare-your-trip/tips-for-flying
顧客-(予約番号１)-旅行代理店-(Reference No.：予約番号２)-航空会社
その際は予約番号２を明記します。
質問(拙文ですが)：What shall I do in case of inputting my “Surnane=First name” and “Given name=Last name” vice versa on my flight (reference no. *****)?
取消・再予約であれば直接航空会社から購入し、代理店には取消通知します。