ニュージーランドのクリスマスは何度か経験してます

オークランドならどこか開いているのでは。
安宿ならキッチンあるので、前日までに食材、買い込んで自炊できますが。
僕の経験でクリスマスの日に利用したことあるのは
サブウェイ(タウポ)
ヌードルキャンティーン(タウポ)　中華のファストフード
パタゴニア(ワナカ)　チョコレートで有名なカフェ
ターキッシュケバブ(ワナカ)
等です
残念ながら、オークランドの経験はないです。