多分、それが仕様なのでしょう

LCCに限らずエアラインはピンキリで、顧客の予約状況をきちんと顧客に反映させているところもあれば、全くない、アクセスすら難しいところもあります。予約記録に反映おらず、当日カンターで揉めるのは嫌ならば、直接聞いて言質を取るしかないと思います。電話は録音でもすれば良いでしょうが、やはり今のご時世記録が残るメールでしょう。ただし、答えが来る保証はありませんが。

How can I contact Thai Lion Air?
Answer :
We do our best to reach out to you. Please feel free to contact us via any of these platforms below:

Call Center : +66 2 XXXX
Call Center email: XXX@lionairthai.com
にするしかないと思います。ここまでやって出ないのなら（予約記録がない以上、誰も確かめてはくれないし、予約記録がある人との善意が得られる確率は極めて低いので）。

メールとかで確実に来ることがわかっているのなら最後まで何もしなくても良いのですが、特に初めてで相手がLCCならば、取引途中の記録を残しておくことも必要です。画面コピーでも完了後の表示印刷（PDF化）でも。