中城城、今帰仁城、勝連城、玉陵、斎場御嶽、沖縄県立博物館

中城城、今帰仁城、勝連城、玉陵、斎場御嶽がお勧めです。

首里城は、建物は完全に復元、石垣も大半が復元です。また、外国人が多くて、ゆっくり観光ができません。
それに対して、中城城跡、今帰仁城、勝連城は、建物（木造）はありませんが、雄大な石垣は昔の姿が見られます。中国の影響を受けた石垣は素晴らしいです。
玉陵（たまうどぅん）は、首里城近くにある琉球王国の歴代国王の墓陵、斎場御嶽（せーふぁーうたき）は、琉球王国の最高の拝所（聖地）です。

勝連城、斎場御嶽は、那覇からやや遠いですが、公共交通機関（バス）で行けます。中城城跡、今帰仁城は、那覇から遠いうえ、最寄りのバス停からかなり歩く必要があります。

現地バスツアーがあるかもしれません。

沖縄の歴史・文化を知りたいなら、沖縄県立博物館（おもろまち）がお勧めです。島唄を聞ける琉球料理の居酒屋もお勧めです。（私は国際通り入口のかなぐすくが好きです）


以下に、沖縄のバス路線図のホームページのURLを張ります。
http://www.kotsu-okinawa.org/
４月に沖縄に行った時の旅行記のURLを貼っておきます。（有名どころの一部はあえて行っていません）
https://tabisuke.arukikata.co.jp/schedule/81062/