指宿近辺なら

薩摩の小京都知覧、日本有数の透明な湖、池田湖、誰でも登れる（らせん状に登ります。ぜひ）薩摩富士の開聞岳をお勧めです。
もう1、２日あれば坊津、佐多岬、吹上浜、甑島へ。

または指宿から世界遺産屋久島に渡るのもいいでしょう。
検索してください。