釜山から

いつ行くかによる

私も慶州押しです。大好きなのでここ数年毎年行ってます。
ただ屋外の観光が多い場所なので、春から秋をお勧めします。寒いのはキツイし、古墳も緑色じゃないでしょうしね。
慶州では淑英食堂というポリパッやパジョンの美味しいお店をお勧めします。トリップアドバイザーでも慶州のレストランで1位になってます。

大邱ですね

　釜山からＫＴＸでわずか３０分、あと地下鉄で１５分でもう大邱の中心地。釜山から日帰り観光も可能です。
　教会がたくさんあって、市場があって韓国らしい食べ物がいっぱいあって、なかなか楽しい街でしたよ。ただ日本にはあまり観光情報、とくにガイドブックが品薄なことが難点。下記のような街です。↓

https://tabisuke.arukikata.co.jp/album/27950/

ありきたりですが、慶州

釜山の比較的近くだと観光地は慶州くらいでしょうか。
金海国際空港から慶州行きのバスがあります。
慶州では、世界遺産の仏国寺と石窟庵。
石窟庵の仏像は非常に美しいです。ただ、ガラス張りの部屋の奥にあり、近づいてじっくり見ることができないのが残念です。写真撮影は禁止です。
仏国寺は統一新羅時代の寺院ですが、建物が李氏朝鮮時代風に復元されているように見えるのは残念です。石造りのものは新羅時代のものと思います。
街自体が世界遺産で、古墳や天文台施設などがありますが、楽しめるかどうかは好みが分かれると思います。雁鴨池は庭と池は美しいですが、李氏朝鮮時代風の復元したつもりの建物が雰囲気をぶち壊しています。

韓国は、秀吉時代の建物焼失、李氏朝鮮時代の廃仏、朝鮮戦争の建造物消失により、李氏朝鮮、高麗以前の建物は少なく、あっても李氏朝鮮時代風に復元されています。歴史的には、多様性にかけています。

釜山では、歴史的遺産巡りより、街歩きの方が楽しめると思います。

慶州しかないでしょう

新羅1000年の都で、韓国の京都ですから。高速列車KTXで新慶州駅まで30分ですから、楽に日帰りできます。
時間的には東京から横浜に行く感じです。
感覚的には東京から鎌倉に行く感じです。

世界遺産は慶州歴史地区と郊外の仏国寺・石窟庵があります。
タクシーで両方を回るのが効率的ですが、ツアーバスや路線バスでも回れます。
慶州に1泊すれば近郊にあるもう一つの世界遺産良洞も回れます（慶州からバス40分）